摘要：雙螺桿擠出機(jī)機(jī)筒內(nèi)部的流體流動(dòng)區(qū)域截面是隨時(shí)間變化的復(fù)雜三連通區(qū)域，采取共形映射方法將這樣的三連通區(qū)域映射成不隨時(shí)間變化的圓界區(qū)域，進(jìn)一步將流動(dòng)區(qū)域變成一個(gè)不隨時(shí)間變化的柱形區(qū)域，可大幅簡(jiǎn)化雙螺桿擠出機(jī)流體流動(dòng)問題的計(jì)算。選擇以外邊界為圓周、內(nèi)邊界為隨時(shí)間旋轉(zhuǎn)的兩個(gè)橢圓周的平面區(qū)域上的熱傳導(dǎo)問題為研究對(duì)象，用本文方法進(jìn)行計(jì)算并比較了精確解和數(shù)值解，計(jì)算結(jié)果表明兩解的絕對(duì)誤差較小。本文方法可用于雙螺桿擠出機(jī)流體流動(dòng)問題的計(jì)算，并簡(jiǎn)化了計(jì)算過程。
引言
雙螺桿擠出機(jī)輸送效率高而且穩(wěn)定，對(duì)于物料的處理更均勻，是塑料等高聚物生產(chǎn)的重要設(shè)備，因此雙螺桿擠出機(jī)內(nèi)部聚合物流體的流動(dòng)性態(tài)和數(shù)值模擬是一個(gè)熱門的研究課題。
雙螺桿擠出機(jī)內(nèi)部的流體流動(dòng)滿足的數(shù)學(xué)模型是三維的非牛頓流體動(dòng)力學(xué)方程組，區(qū)域復(fù)雜且隨時(shí)間變化，因此是求解難點(diǎn)，通常直接采用有限元［1－3］等方法或?qū)?shù)學(xué)模型降維的方法來進(jìn)行流體流動(dòng)的數(shù)值求解，但缺點(diǎn)是難以精確有效。在此流體區(qū)域上求解雙螺桿擠出機(jī)擠出問題的另一個(gè)重要途徑是先將求解區(qū)域規(guī)則化，并在這個(gè)規(guī)則區(qū)域上進(jìn)行流體計(jì)算。通常來說雙螺桿擠出機(jī)流體流動(dòng)區(qū)域的截面是一個(gè)三連通區(qū)域，有3個(gè)邊界：外邊界是一個(gè)類似于8字形的外邊界，2個(gè)內(nèi)邊界是兩根螺桿的截面邊界。因此用合適的區(qū)域變換方法將螺槽區(qū)域變成規(guī)則化的區(qū)域，將大大簡(jiǎn)化對(duì)雙螺桿擠出機(jī)流體的計(jì)算。
將一個(gè)截面在一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)周期中不同時(shí)刻的區(qū)域形狀經(jīng)過規(guī)則化變換變?yōu)橄嗤膱A界區(qū)域，再將雙螺桿擠出機(jī)流體流動(dòng)區(qū)域的截面轉(zhuǎn)化成圓界區(qū)域后，求解區(qū)域非但不受時(shí)間影響，還變成了規(guī)則的、截面為三連通圓界（形狀）區(qū)域的柱體，從而克服了求解雙螺桿擠出機(jī)流體流動(dòng)問題的主要困難。文獻(xiàn)［4－6］研究了用區(qū)域變換方法求解單螺桿擠出機(jī)的流體流動(dòng)問題，但其采用的方法只適用于雙連通區(qū)域同心的情況，因此需要尋找更合適的共形映射方法來解決三連通區(qū)域的變換問題。
多連通區(qū)域的共形映射的計(jì)算方法有多種［7－9］，通常是將區(qū)域映射到圓縫［7－8］。本文采用文獻(xiàn)［9］的方法將三連通區(qū)域映射到圓界區(qū)域，同時(shí)對(duì)其算法的約束條件進(jìn)行修改，以保證同一桿長(zhǎng)位置不同轉(zhuǎn)角的截面均映射到同樣的圓界區(qū)域，并更正了其中共軛調(diào)和函數(shù)求解方程式的錯(cuò)誤。為了驗(yàn)證共形映射算法的可行性，本文以內(nèi)部邊界曲線是兩個(gè)橢圓的雙螺桿擠出機(jī)流體流動(dòng)區(qū)域?yàn)槔蠼庠摃r(shí)變區(qū)域上的熱傳導(dǎo)方程的定解，并將數(shù)值解與精確解進(jìn)行比較。計(jì)算結(jié)果表明，兩解的絕對(duì)誤差較小，可以用于求解雙螺桿擠出機(jī)內(nèi)部流體流動(dòng)問題。
1共形映射的計(jì)算
1.1 共形映射方法的理論公式
本文使用并改進(jìn)文獻(xiàn)［9］的方法。首先考慮一個(gè)多邊相連的有界平面區(qū)域Ωa，其邊界分量是光滑的曲線。Ωa共形等價(jià)于圓界區(qū)域Ωc。設(shè)f：Ωa→Ωc為共形映射，同時(shí)令函數(shù)u=ln|f'（z）|，則u是Ωa上的調(diào)和函數(shù)，并且滿足邊界條件（1）
式中，n是邊界分量，rv是對(duì)應(yīng)的圓界邊界Ωc的半徑，s是弧長(zhǎng)參數(shù)，X（s）是Ωa的曲率，其值取決于s位于哪個(gè)邊界上。
在區(qū)域邊界有尖角的情況下，將區(qū)域記為Ωp。式（1）中X（s）在每個(gè)尖角的值是δ函數(shù)的倍數(shù)，即X（s）=βδ（s），其中β是尖角的補(bǔ)角。所以共形映射f（z）可以近似表示為
f（z）=f1（（z－z0）α）
式中z0是尖角點(diǎn)的坐標(biāo)，f1是一個(gè)單值解析函數(shù)，α=π/（π－β）。因此可以得到
ln|f'（z）|=（α－1）ln|z－z0|+w
式（2）中w為調(diào)和函數(shù)的光滑部分。式（2）表明調(diào)和函數(shù)u在尖角部分有對(duì)數(shù)奇點(diǎn)，如果減去u中所有奇異部分，剩余部分即為在邊界上光滑的調(diào)和函數(shù)。利用公式（3）可以得到與尖角部分有相同奇點(diǎn)的單值函數(shù)
式（3）中，z*是Ωp區(qū)域外部線段z0z*上除z0外的一點(diǎn)，從調(diào)和函數(shù)u中去除所有奇點(diǎn){zi}后得到一個(gè)剩余的函數(shù)w即為Ωp上的調(diào)和函數(shù)，并且w在邊界上光滑，從而得到式（4）
u = g（ z） + w
式（4）中
且w滿足邊界條件
求解如式（5）的泛函φ（w）的最小值可以得到調(diào)和函數(shù)w。
式中，Cv表示Ωa的內(nèi)部邊界，且
得到調(diào)和函數(shù)w后，求解Cauchy-Ｒiemann方程
，即可得到w的共軛調(diào)和函數(shù)wc。
注意到G（z）是解析函數(shù)，則ln|G（z）|是從式（4）u中減去的奇異部分之和，因此f'（z）=exp（w+iwc）G（z）是解析函數(shù)，通過對(duì)f'（z）積分可以得到共形映射f（z）。
為了使調(diào)和函數(shù)w唯一，需要在外邊界上選取兩個(gè)點(diǎn)pi（i=1，2（3）），從而得到限制條件式（7）
式（7）中ai為2個(gè)固定正數(shù)，令其滿足a1+a2=2π，則式（7）可使映射f唯一，同時(shí)不影響目標(biāo)網(wǎng)格的形狀，更重要的是可以使內(nèi)部邊界的形狀和大小變得相同。
1.2數(shù)值求解
通過有限元方法對(duì)公式（5）進(jìn)行離散來尋找函數(shù)φ（w）的最小值。在Ωa區(qū)域打上網(wǎng)格點(diǎn)進(jìn)行三角劃分，并在每個(gè)尖角點(diǎn)部分進(jìn)行加細(xì)處理。分別用V、E、F來表示節(jié)點(diǎn)、邊和三角形的集合，并將未知函數(shù)w離散化為τ上的分段線性函數(shù)。
首先，將式（5）中的第一項(xiàng)離散為
式中H表示三角網(wǎng)格的個(gè)數(shù)。將w的離散值排成列向量w'，有
式中we是邊界向量，wi是內(nèi)部向量。所以式（8）等式右邊可以寫成矩陣表達(dá)式
，其中系數(shù)矩陣A為對(duì)稱矩陣，可寫成
式中Aee、Aii分別對(duì)應(yīng)we和wi，Aei對(duì)應(yīng)交叉部分。
其次，將式（5）中的第二項(xiàng)離散為
式中e為三角網(wǎng)格的邊。式（9）中g(shù)，X（s）可以分別離散為
式（10）中，@S（e）表示在S（e）點(diǎn)的值。值得注意的是，
帶有方向性，因此式（9）可以寫成向量表達(dá)形式:λTwe，其中λ為系數(shù)向量。最后，將式（5）中第三項(xiàng)離散為
式（11）中
式（12）中
式（13）中，l（e1）、l（e2）分別表示p點(diǎn)兩端的邊界邊的長(zhǎng)度。
限制條件式（7）可以離散為如下形式
式中C'i是外邊界pi與pi+1之間的節(jié)點(diǎn)集合，且p3=p1。
綜合公式（8）～（10）的離散過程，可得式（5）的離散形式
固定we，則當(dāng)wi=－Aii-1Aiewe時(shí)，φ（w'）有最小值。因此式（15）的最小值問題等價(jià)于式（16）取最小值
式中A'=Aee－AieTAii-1Aie。
求得式（16）在約束條件式（14）下的最小值we，進(jìn)而可得到式（15）的最小值w'。
通過求解公式（17）的最小值可以得到w的共軛調(diào)和函數(shù)
因?yàn)閒'（z）=exp（w+iwc）G（z）已知，所以通過求解式（18）可以得到
式（18）的離散過程如下。
首先，對(duì)于三角網(wǎng)格中頂點(diǎn)坐標(biāo)為z1，z2，z3的三角形，令f'=（f'（z1）+f'（z2）+f'（z3））/3，從而得到期望三角形的3個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)
將坐標(biāo)分為實(shí)部和虛部（xei，yei）（i=1，2（3））。
其次，該期望三角形對(duì)于式（18）離散后的實(shí)部和虛部的影響分別為
最后，采用最小二乘法對(duì)式（20）、（21）分別求最小值，得到最小值點(diǎn){xi}、{yi}，即得f（zk）=xk+iyk。
因?yàn)樵谑剑?7）的計(jì)算中，wc的值相差一個(gè)實(shí)常數(shù)，所以f（z）的值可以相差一個(gè)復(fù)常數(shù)。這說明求出映射后還可以作平移和旋轉(zhuǎn)變換來保持共形性質(zhì)。圖1即為數(shù)值計(jì)算結(jié)果的圖示，可看出對(duì)不同的轉(zhuǎn)角，映射后的圓界區(qū)域有較高的重合度。
圖1流動(dòng)截面區(qū)域到圓界區(qū)域的共形映射
2實(shí)例驗(yàn)證
2.1熱傳導(dǎo)方程的變換
選擇一個(gè)熱傳導(dǎo)方程來驗(yàn)證共形映射算法的可行性。設(shè)熱傳導(dǎo)方程的求解區(qū)域是類似于圖1中的雙螺桿擠出機(jī)截面的三連通區(qū)域，其中外邊界不隨時(shí)間變化，兩個(gè)內(nèi)邊界繞各自中心旋轉(zhuǎn)。熱傳導(dǎo)方程如下
利用共形映射將求解區(qū)域Dt變?yōu)閳A界區(qū)域，將自變量（x，y）變?yōu)椋?xi;，η），即得
假設(shè)此變換將Dt變?yōu)椴浑S時(shí)間變化的區(qū)域Ω，
邊界L0、L1（t）、L2（t）分別變?yōu)?/span>
式（24）中，螺桿轉(zhuǎn)角θ＞0，（ξ，η）∈Ω。式（24）可以通過有限元方法計(jì)算求解，共形映射和其逆映射的值以及相關(guān)導(dǎo)數(shù)值可以通過插值和變換之間的導(dǎo)數(shù)關(guān)系給出。
2.2數(shù)值計(jì)算結(jié)果
選取Dt的外邊界為圓心在原點(diǎn)、半徑等于r的圓周，其內(nèi)邊界L1（t）、L2（t）分別是橢圓，橢圓方程為
取r=2，a=0.6，b=0.8，c=0.8，ω=1，則定解問題式（22）變?yōu)?/span>
式（25）中，螺桿轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間t＞0，（x，y）∈Dt。
給定精確解u=e－2tsin xcos y+x2。取邊界上初始網(wǎng)格長(zhǎng)度0.08且均勻分布的三角網(wǎng)格，區(qū)域上約有1700個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)，在此網(wǎng)格上計(jì)算共形映射。數(shù)值解的求解過程為:首先對(duì)t從0～π/2進(jìn)行離散，再對(duì)每個(gè)離散的t計(jì)算共形映射，然后利用對(duì)稱性拓展得到π/2～π對(duì)應(yīng)的離散t的共形映射，最后進(jìn)行周期延拓，就可以得到所需的共形映射。將時(shí)間步長(zhǎng)取為π/40，然后在映射網(wǎng)格上用有限元法求解式（25），得到t=2π時(shí)的數(shù)值解與精確解的絕對(duì)誤差如圖2所示。
圖2t=2π時(shí)數(shù)值解與精確解的絕對(duì)誤差
通過比較數(shù)值解和精確解可知，其絕對(duì)誤差在0.01范圍內(nèi)，表明本文算法是可行的。
3 結(jié)論
（1）用共形映射將雙螺桿擠出機(jī)流體流動(dòng)區(qū)域的截面變?yōu)閳A界區(qū)域，可使求解區(qū)域不受轉(zhuǎn)動(dòng)的影響，將雙螺桿擠出機(jī)流體流動(dòng)區(qū)域進(jìn)一步變換成截面為圓界區(qū)域的柱體區(qū)域，可以為雙螺桿擠出機(jī)這種復(fù)雜流體運(yùn)動(dòng)的求解提供一種精確高效的方法。
（2）利用本文方法對(duì)求解區(qū)域類似于雙螺桿擠出機(jī)截面的三連通區(qū)域的熱傳導(dǎo)問題進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn)，得到的數(shù)值解與精確解誤差較小，從而證明了本文方法的可行性和有效性。
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